Baumdiagramm

Eine einzelne Münze zu werfen ist einfach. Doch was ist, wenn du zweimal wirfst und beide Male Kopf willst? Sobald ein Zufall aus mehreren Stufen besteht, wird es schnell unübersichtlich. Das Baumdiagramm bringt Ordnung hinein und macht aus einer verzwickten Frage eine klare Rechnung.

Mehrstufige Zufallsversuche

Von einem mehrstufigen Zufallsversuch spricht man, wenn hintereinander mehrere Zufälle passieren: zweimal eine Münze werfen, nacheinander zwei Kugeln ziehen, ein Glücksrad mehrfach drehen. Jede Stufe hat ihre eigenen möglichen Ausgänge, und du willst wissen, wie wahrscheinlich eine bestimmte Kombination am Ende ist.

Das Baumdiagramm

Im Baumdiagramm zeichnest du für jede Stufe Äste, einen pro möglichem Ausgang. An jeden Ast schreibst du seine Wahrscheinlichkeit. Ab der zweiten Stufe ist damit die Wahrscheinlichkeit gemeint, die gilt, wenn du bis dorthin schon gekommen bist. Ziehst du mit Zurücklegen, bleiben die Zahlen auf jeder Stufe gleich. Ziehst du ohne Zurücklegen, fehlt beim zweiten Mal eine Kugel und die Zahlen ändern sich. Ein vollständiger Weg von der Wurzel bis zu einem Ende heißt Pfad und beschreibt genau ein mögliches Gesamtergebnis, zum Beispiel Kopf und dann noch einmal Kopf.

Die Pfadregel

Die Wahrscheinlichkeit eines ganzen Pfades bekommst du, indem du die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizierst. Für zweimal Kopf rechnest du $0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25$. Das ist die Pfadregel, und sie ist der wichtigste Trick bei mehrstufigen Versuchen.

Mehrere Pfade zusammenfassen

Manchmal führen mehrere Pfade zum selben Ereignis. Genau einmal Kopf bei zwei Würfen erreichst du über Kopf dann Zahl oder Zahl dann Kopf. Dann rechnest du erst jeden Pfad mit der Pfadregel aus und addierst die Ergebnisse: $0{,}25 + 0{,}25 = 0{,}5$. Multiplizieren geht entlang eines Pfades, Addieren über verschiedene Pfade.