Satz von Bayes

Ein Test auf eine seltene Krankheit erkennt 99 % aller Erkrankten. Bei Gesunden schlägt er nur in 1 % der Fälle fälschlich an. Dein Test ist positiv. Wie wahrscheinlich bist du krank? Die meisten Menschen antworten 99 %. Die richtige Antwort ist oft unter 10 %, und dieser Unterschied ist keine Spitzfindigkeit, sondern hat echte Folgen in Medizin und Justiz.

Die Richtung ist entscheidend

Der Test verspricht: Wenn du krank bist, dann ist der Test wahrscheinlich positiv. Das ist $P(\text{positiv} \mid \text{krank})$. Du willst aber wissen: Wenn der Test positiv ist, bin ich dann krank? Das ist $P(\text{krank} \mid \text{positiv})$. Diese beiden Zahlen sehen fast gleich aus und sind völlig verschieden, weil sie in verschiedenen Gruppen zählen.

Der Satz von Bayes ist die Regel, mit der du von der einen Richtung auf die andere schließt. Man kann ihn als Formel schreiben, aber es geht auch ohne: Rechne einfach mit einer großen Zahl von Menschen und zähl ab. Dieser Weg ist weniger fehleranfällig und leichter zu erklären.

Mit 10.000 Menschen rechnen

Angenommen, 1 % der Bevölkerung ist krank. Bei 10.000 Menschen sind das 100 Kranke und 9900 Gesunde. Von den 100 Kranken erkennt der Test 99. Von den 9900 Gesunden schlägt er bei 1 % fälschlich an, das sind 99 Personen. Insgesamt gibt es also $99 + 99 = 198$ positive Tests, und nur die Hälfte davon betrifft wirklich Kranke.

Der Grund für dieses überraschende Ergebnis ist die Größe der beiden Gruppen. Es gibt fast hundertmal so viele Gesunde wie Kranke. Selbst ein winziger Fehleranteil bei einer riesigen Gruppe liefert also genauso viele Fälle wie ein großer Trefferanteil bei einer kleinen Gruppe. Diese Ausgangshäufigkeit heißt Basisrate, und sie zu ignorieren ist der häufigste Denkfehler in der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Wenn die Krankheit häufiger ist

Rechne dasselbe noch einmal mit einer Krankheit, die 10 % der Menschen betrifft. Von 10.000 sind dann 1000 krank und 9000 gesund. Der Test findet 990 Kranke und liefert 90 falsche Alarme. Jetzt sind $\frac{990}{1080} \approx 92\,\%$ der positiven Tests richtig. Derselbe Test, dieselbe Genauigkeit, ein völlig anderes Ergebnis.

Genau deshalb wird bei seltenen Krankheiten nicht die ganze Bevölkerung getestet, sondern nur, wer Beschwerden hat oder zu einer Risikogruppe gehört. In dieser kleineren Gruppe ist die Basisrate viel höher, und damit wird ein positives Ergebnis erst aussagekräftig. Und deshalb wird ein positiver Test in der Praxis mit einem zweiten, anderen Verfahren bestätigt.