Ungleichungen

Vieles im Alltag ist keine exakte Gleichung: Dein Einkauf darf höchstens 20 Euro kosten, für den Film musst du mindestens 12 Jahre alt sein, das Paket darf weniger als 5 Kilo wiegen. Solche Bedingungen beschreibt die Mathematik mit Ungleichungen, und du wirst sehen: Du kannst mit ihnen fast genauso rechnen wie mit Gleichungen.

Vier Zeichen für vier Bedingungen

Statt des Gleichheitszeichens benutzt du Vergleichszeichen: x < 5 heißt, x ist kleiner als 5. x > 5 heißt, x ist größer als 5. x ≤ 5 heißt, x ist höchstens 5 (die 5 selbst zählt mit). x ≥ 5 heißt, x ist mindestens 5. Die Spitze des Zeichens zeigt immer auf die kleinere Seite.

Lösungsmengen statt einer Lösung

Eine Gleichung wie x + 2 = 7 hat genau eine Lösung: x = 5. Die Ungleichung x + 2 < 7 hat dagegen unendlich viele Lösungen: Jede Zahl kleiner als 5 passt, also 4, aber auch 0, minus 3 oder 4,9. Man schreibt die Lösung deshalb als Bedingung auf: x < 5. Alle Zahlen, die diese Bedingung erfüllen, bilden zusammen die Lösungsmenge.

Lösen wie eine Gleichung, mit einer Ausnahme

Du darfst auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren und mit derselben positiven Zahl multiplizieren oder dividieren, genau wie bei Gleichungen. Nur eine Sache ist anders: Multiplizierst oder dividierst du mit einer negativen Zahl, dreht sich das Vergleichszeichen um. Ein Beispiel: Aus −2x < 10 wird nach dem Teilen durch −2 die Lösung x > −5. Merk dir diese Ausnahme, sie ist der einzige Stolperstein.

Aus Worten wird eine Ungleichung

Meistens steckt die Ungleichung noch in einem Satz. Beispiel: Eine Taxifahrt kostet 4 Euro Grundpreis plus 2 Euro pro Kilometer, in deiner Tasche sind 20 Euro. Nenne die gefahrenen Kilometer x, dann heißt die Bedingung 4 + 2x ≤ 20. Ziehe auf beiden Seiten 4 ab, das ergibt 2x ≤ 16, teile durch 2, und du bekommst x ≤ 8. Acht Kilometer sind also drin.