Mathematik

Polynomdivision

Eine Nullstelle gefunden, aber die Gleichung hat Grad 3? Dann teilst du sie herunter, wie schriftliches Dividieren mit Buchstaben.

Das brauchst du vorher

Ausklammern und Faktorisieren Quadratische Gleichungen Schriftlich rechnen

Für quadratische Gleichungen gibt es eine Formel. Für $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$ gibt es keine, die man sich merken möchte. Der Ausweg ist ein Umweg: Wenn du eine Lösung durch Probieren findest, kannst du den Grad um eins senken und landest wieder bei einer quadratischen Gleichung, die du längst beherrschst. Das Werkzeug dafür ist die Polynomdivision.

Nullstelle heißt Faktor

Der ganze Trick steckt in einem Satz: Ist $x = a$ eine Nullstelle, dann steckt der Faktor $(x - a)$ im Polynom. Bei $x^2 - 5x + 6$ siehst du das noch direkt, denn es ist $(x - 2)(x - 3)$ , und die Nullstellen sind 2 und 3. Rückwärts gilt es genauso: Wer eine Nullstelle kennt, kennt einen Faktor. Und einen Faktor kann man herausdividieren.

Koordinatensystem

y = 1x² + 1nach oben geöffnet

Das Gitter zeichnet

y = a x^2 + c

. Stell

a = 1

und

c = -4

ein: Die Kurve schneidet die

x

-Achse bei

-2

und bei 2. Genau diese beiden Nullstellen stecken als Faktoren drin, denn

x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)

. Schieb

c

auf 1, und die Kurve verlässt die Achse: keine reelle Nullstelle, also auch kein reeller Faktor zum Abspalten.

Der Ablauf, Schritt für Schritt

Polynomdivision läuft genauso wie schriftliches Dividieren, nur dass du nicht auf Stellenwerte, sondern auf die höchste Potenz schaust. Beispiel: $(x^3 - 2x^2 - 5x + 6) : (x - 1)$ . Du fragst jedes Mal nur: Womit muss ich den Divisor multiplizieren, damit vorn genau der aktuelle höchste Term entsteht? Erste Frage: $x \cdot x^2 = x^3$ , also lautet der erste Teil des Ergebnisses $x^2$ .

Dann multiplizierst du zurück und ziehst ab: $x^2 \cdot (x - 1) = x^3 - x^2$ . Abgezogen von $x^3 - 2x^2$ bleibt $-x^2$ . Jetzt holst du den nächsten Term herunter und fragst erneut: $x \cdot (-x) = -x^2$ , also kommt $-x$ ins Ergebnis. Und noch einmal: Am Ende bleibt $-6$ , und $x \cdot (-6) = -6x$ passt, also kommt $-6$ dazu. Das Ergebnis ist $x^2 - x - 6$ , und der Rest ist 0.

x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(x^2 - x - 6)

Aus Grad 3 sind ein Faktor und eine quadratische Gleichung geworden.

Jetzt bist du auf bekanntem Boden: $x^2 - x - 6 = 0$ ergibt mit der Mitternachtsformel oder durch Faktorisieren $x = 3$ und $x = -2$ . Zusammen mit der geratenen Nullstelle 1 hat die Gleichung also drei Lösungen: $-2$ , 1 und 3.

Die erste Nullstelle raten

Ohne eine erste Nullstelle geht es nicht los, und die musst du finden. Zum Glück ist Raten hier kein blindes Raten: Wenn das Polynom nur ganze Zahlen als Koeffizienten hat und vorn eine 1 steht, dann kommen als ganzzahlige Nullstellen nur Teiler des letzten Glieds infrage. Bei $\dots + 6$ probierst du also $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ , und meistens ist eine der ersten beiden schon dabei.

Aufgaben

0 von 6 gelöst

Zeit zum Ausprobieren. Du kannst nichts kaputt machen, jeder Versuch zählt.

Wozu dient die Polynomdivision beim Lösen von Gleichungen?

Prüfe durch Einsetzen: Ist $x = 2$ eine Nullstelle von $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ ? Gib den Funktionswert $f(2)$ an.

Was ist der erste Term des Ergebnisses von $(x^3 + 4x^2 - x - 4) : (x + 1)$ ?

Ist $x = -4$ eine Nullstelle von $f$ , dann steckt der Faktor … in $f(x)$ .

Berechne $(x^2 + 5x + 6) : (x + 2)$ .

Bringe die Schritte einer Polynomdivision in die richtige Reihenfolge.

1Schreib die Division mit dem Faktor $(x - a)$ als Divisor an.
2Rate eine Nullstelle und prüfe sie durch Einsetzen.
3Frag nach dem höchsten Term, multipliziere zurück und zieh ab.
4Wiederhole das, bis kein Term mehr übrig ist.
5Löse die entstandene quadratische Gleichung.

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