Lineare Gleichungssysteme

Zwei Kaffee und ein Kuchen kosten zusammen 8 Euro, ein Kaffee und ein Kuchen kosten 5,50 Euro. Was kostet der Kaffee? Solche Rätsel haben zwei Unbekannte, und eine Gleichung allein reicht nicht. Erst zwei Bedingungen zusammen legen die Antwort fest. Genau darum geht es bei linearen Gleichungssystemen.

Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte

Ein lineares Gleichungssystem besteht im einfachsten Fall aus zwei Gleichungen mit denselben zwei Unbekannten, meist x und y. Eine einzelne Gleichung wie x + y = 10 hat unendlich viele Lösungen: 1 und 9, 4 und 6, 7 und 3, und so weiter. Kommt eine zweite Bedingung dazu, etwa x − y = 2, bleibt nur noch ein Paar übrig, das beide erfüllt: x = 6 und y = 4. Gesucht ist also immer das Zahlenpaar, das in beiden Gleichungen gleichzeitig stimmt.

Zwei Geraden, ein Schnittpunkt

Jede der beiden Gleichungen beschreibt eine Gerade im Koordinatensystem. Alle Punkte auf der Geraden erfüllen ihre Gleichung. Die Lösung des Systems ist der Punkt, der auf beiden Geraden liegt: der Schnittpunkt. Bei y = 2x und y = x + 3 ist das der Punkt (3, 6), denn 2 · 3 = 6 und 3 + 3 = 6. Nur wenn die beiden Geraden parallel verlaufen, treffen sie sich nie, dann hat das System keine Lösung. Das ist aber der Ausnahmefall.

Das Einsetzungsverfahren

Statt zu zeichnen kannst du rechnen. Ist eine Gleichung schon nach einer Unbekannten aufgelöst, etwa y = x + 3, setzt du diesen Ausdruck in die andere Gleichung ein. Aus x + y = 11 wird dann x + x + 3 = 11, also 2x + 3 = 11 und damit x = 4. Den Wert setzt du zurück ein und bekommst y = 7. Zwei Unbekannte werden so Schritt für Schritt zu einer. Genauso knackst du das Café-Rätsel vom Anfang: Mit dem Kaffeepreis x und dem Kuchenpreis y gilt 2x + y = 8 und x + y = 5,50. Aus der zweiten Gleichung folgt y = 5,50 − x. Eingesetzt in die erste wird daraus 2x + 5,50 − x = 8, also x + 5,50 = 8. Der Kaffee kostet demnach 2,50 Euro und der Kuchen 3 Euro.