Mathematik

Quadratische Gleichungen

Gleichungen mit x hoch 2 lösen: Wurzelziehen, Nullstellen und Faktorisieren Schritt für Schritt.

Das brauchst du vorher

Die Flugbahn eines geworfenen Balls, die Fläche eines quadratischen Beets, der Bremsweg eines Autos: Sobald eine Größe mit sich selbst multipliziert wird, taucht ein $x^2$ auf. Quadratische Gleichungen zeigen dir, wie du solche Aufgaben rückwärts löst und den gesuchten Wert findest.

Was ist eine quadratische Gleichung?

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, in der die Unbekannte im Quadrat vorkommt, also als $x^2$ . Das einfachste Beispiel ist $x^2 = 9$ . Gesucht ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert 9 ergibt. Das ist 3, denn $3 \cdot 3 = 9$ . Aber auch −3 passt, denn minus mal minus gibt plus. Quadratische Gleichungen haben deshalb oft zwei Lösungen.

Lösen durch Wurzelziehen

Steht die Gleichung in der Form $x^2 = a$ , ziehst du auf beiden Seiten die Wurzel. Für $x^2 = 25$ ist $x = 5$ oder $x = -5$ . Wichtig: Vergiss die negative Lösung nicht. Ist noch etwas dazuaddiert, bringst du es zuerst auf die andere Seite. Aus $x^2 + 4 = 20$ wird $x^2 = 16$ , also $x = 4$ oder $x = -4$ . Steht eine Zahl als Faktor vor dem $x^2$ , teilst du zuerst durch sie: Aus $3x^2 = 27$ wird $x^2 = 9$ , also $x = 3$ oder $x = -3$ . Steht rechts dagegen eine negative Zahl, wie bei $x^2 = -4$ , gibt es gar keine Lösung, denn ein Quadrat ist nie negativ.

x^2 = a \quad\Rightarrow\quad x = \pm\sqrt{a}

Die Grundregel: Aus dem Quadrat kommst du mit der Wurzel heraus, und zwar mit plus und minus.

Koordinatensystem

y = 1x² + 1nach oben geöffnet

Hier heißen die beiden Regler

a

und

c

: Sie zeichnen die Parabel

y = a x^2 + c

. Schieb

c

nach unten, bis die Kurve die x-Achse trifft. Genau dort liegen die Nullstellen, also die Lösungen von

a x^2 + c = 0

Nullstellen: wo der Graph die x-Achse trifft

Jede quadratische Gleichung lässt sich auch als Bild lesen. Bring dazu zuerst alles auf eine Seite, sodass rechts nur noch eine 0 steht. Aus $x^2 = 9$ wird so $x^2 - 9 = 0$ , und zur linken Seite gehört die $y = x^2 - 9$ . Die Lösungen der Gleichung sind genau die Stellen, an denen diese die x-Achse trifft, hier bei $x = 3$ und $x = -3$ . Man nennt sie Nullstellen, weil dort $y = 0$ ist. Eine kann die Achse zweimal schneiden, sie nur berühren oder ganz verfehlen. Genauso hat die Gleichung zwei, eine oder keine Lösung.

Lösen durch Faktorisieren

Steht rechts eine 0 und enthält links jeder Summand ein x, hilft Ausklammern. Bei $x^2 - 5x = 0$ steckt in beiden Teilen ein x. Du schreibst $x \cdot (x - 5) = 0$ . Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist. Also ist $x = 0$ oder $x - 5 = 0$ , und damit $x = 0$ oder $x = 5$ .

Aufgaben

0 von 6 gelöst

Zeit zum Ausprobieren. Du kannst nichts kaputt machen, jeder Versuch zählt.

Welche Zahl ist eine Lösung von x² = 16?

Löse x² = 36. Gib die positive Lösung an.

Löse x² = 81. Gib die positive Lösung an.

Beim Wurzelziehen aus x² = 25 darf man die … Lösung nicht vergessen.

Die Gleichung x · (x − 5) = 0 hat die Lösungen 0 und welche Zahl?

Bringe die Schritte zum Lösen von x² + 4 = 20 in die richtige Reihenfolge.

1Auf beiden Seiten 4 abziehen: x² = 16
2Wurzel ziehen: x = 4 oder x = −4
3Gleichung aufschreiben: x² + 4 = 20

Damit geht es weiter

Polynomdivision

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