Mathematik

Binomische Formeln

Drei Muster, die dir das Rechnen mit Klammern abkürzen: erkennen, anwenden, im Kopf ausrechnen.

Das brauchst du vorher

Manche Klammern tauchen immer wieder auf, zum Beispiel $(a + b)^2$ . Statt sie jedes Mal mühsam auszumultiplizieren, gibt es drei feste Muster, die binomischen Formeln. Wer sie erkennt, spart Zeit, macht weniger Fehler und kann sogar große Zahlen im Kopf multiplizieren.

Die erste binomische Formel

Multiplizierst du $(a + b)$ mit sich selbst, kommt jeder Summand mit jedem in Berührung. Es entstehen $a^2$ , zweimal das gemischte Produkt $ab$ und $b^2$ . Der mittlere Term wird oft vergessen, dabei macht er den Unterschied.

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Quadrat einer Summe: das Quadrat des ersten, plus das doppelte Produkt, plus das Quadrat des zweiten.

Punktefeld

Reihen3

Spalten4

3 × 4 = 12

Ein Quadrat mit der Seite a plus b zerfällt in vier Felder:

a^2

b^2

und zwei gleiche Rechtecke

ab

. Genau das steckt in der Formel.

Die zweite binomische Formel

Steht in der Klammer ein Minus, ändert sich nur das Vorzeichen des mittleren Terms. Das Quadrat einer Differenz ist $a^2 - 2ab + b^2$ . Der letzte Term behält sein Pluszeichen, denn $(-b) \cdot (-b)$ ergibt wieder $+b^2$ .

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Quadrat einer Differenz: wie oben, nur das doppelte Produkt wird abgezogen.

Die dritte binomische Formel

Multiplizierst du die Summe $(a + b)$ mit der Differenz $(a - b)$ , heben sich die gemischten Terme auf. Übrig bleibt $a^2 - b^2$ . Dieses Muster ist ein echter Rechentrick: $32 \cdot 28$ ist $(30 + 2)(30 - 2) = 900 - 4 = 896$ , ganz ohne schriftliche Multiplikation.

(a + b)(a - b) = a^2 - b^2

Produkt aus Summe und Differenz: die gemischten Terme fallen weg, es bleibt die Differenz der Quadrate.

Aufgaben

0 von 6 gelöst

Zeit zum Ausprobieren. Du kannst nichts kaputt machen, jeder Versuch zählt.

Wie lautet (a + b)²?

Berechne (10 + 1)² mit der ersten Formel: 100 + 20 + 1.

Berechne (a − b)² für a = 5 und b = 2, also 25 − 20 + 4.

Ordne jeder binomischen Formel ihr ausmultipliziertes Ergebnis zu.

(a + b)²

(a − b)²

(a + b)(a − b)

Wie lautet (a − b)(a + b)?

In der ersten binomischen Formel (a + b)² lautet der mittlere Term … .

Damit geht es weiter

Ausklammern und Faktorisieren

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