Formeln umstellen

Ein Rechteck hat 48 cm² Fläche und ist 6 cm breit. Wie lang ist es? Die passende Formel kennst du längst: Fläche ist Länge mal Breite. Nur steht dort die Fläche allein auf einer Seite, gesucht ist aber die Länge. Genau dafür gibt es das Umstellen: Du baust die Formel so um, dass der gesuchte Buchstabe allein dasteht, und danach musst du nur noch einsetzen.

Eine Formel ist auch nur eine Gleichung

In der Formel $A = a \cdot b$ liegt links genau so viel wie rechts, wie bei einer Waage im Gleichgewicht. Also gelten dieselben Regeln wie beim Gleichungslösen: Was du auf einer Seite tust, tust du auch auf der anderen. Willst du $a$ allein haben, stört das $b$, mit dem multipliziert wird. Multiplizieren machst du durch Teilen rückgängig, also teilst du beide Seiten durch $b$: links kürzt sich das $b$ weg, rechts bleibt $A$ geteilt durch $b$ stehen. Der einzige Unterschied zu Aufgaben mit Zahlen ist, dass hier Buchstaben stehen, mit denen du genauso rechnest, als wären es Zahlen.

Allein heißt wirklich allein

Umgestellt ist eine Formel erst, wenn der gesuchte Buchstabe genau einmal vorkommt, ganz allein auf einer Seite steht und nichts mehr mit ihm passiert: kein Mal, kein Geteilt, kein Plus. Beim Umfang eines Rechtecks, $U = 2 \cdot (a + b)$, bist du nach dem Teilen durch 2 deshalb noch nicht fertig, denn dann steht dort $\frac{U}{2} = a + b$ und am $a$ klebt weiterhin das $b$. Erst wenn du auf beiden Seiten $b$ abziehst, hast du $a = \frac{U}{2} - b$ und kannst Zahlen einsetzen. Und keine Sorge, wenn der gesuchte Buchstabe rechts landet: $8 = a$ bedeutet genau dasselbe wie $a = 8$. Eine Regel gilt beim Teilen immer: Du darfst nur durch etwas teilen, das nicht null ist. Bei Seitenlängen, Zeiten oder Tempo ist das erfüllt, denn sonst würde die Formel selbst keinen Sinn ergeben.

In umgekehrter Reihenfolge abräumen

Oft hängt mehr als eine Rechnung am gesuchten Buchstaben. Dann räumst du rückwärts ab: Was zuletzt dazugekommen ist, verschwindet zuerst. In $y = 2x + 7$ wird $x$ erst mit 2 multipliziert, danach kommt 7 dazu. Also ziehst du zuerst auf beiden Seiten 7 ab, das ergibt $y - 7 = 2x$, und teilst danach beide Seiten durch 2: $x = \frac{y - 7}{2}$. Zwei Kleinigkeiten dazu: Steht eine Zahl direkt vor einem Buchstaben, ist Malnehmen gemeint, $2x$ ist also dasselbe wie $2 \cdot x$. Und wenn ein Bruchstrich im Weg ist, multiplizierst du beide Seiten zuerst mit dem, was unter dem Strich steht, dann ist der Bruch weg.

Tempo, Weg und Zeit

Die bekannteste Formel dieser Art ist die für die Geschwindigkeit: Tempo ist Weg geteilt durch Zeit, kurz $v = \frac{s}{t}$. Willst du wissen, wie weit du kommst, brauchst du sie nach $s$ umgestellt: Multipliziere beide Seiten mit $t$, dann kürzt sich das $t$ im Bruch weg und übrig bleibt $s = v \cdot t$. Suchst du dagegen die Fahrtzeit, teilst du danach noch beide Seiten durch $v$ und erhältst $t = \frac{s}{v}$. Ein Beispiel: 120 km bei gleichbleibenden 60 km/h sind 120 geteilt durch 60, also 2 Stunden. Es sind immer dieselben drei Größen, nur so umgestellt, wie du sie gerade brauchst.