Kongruenz & Ähnlichkeit

Zoomst du ein Foto größer, bleibt es dasselbe Bild, nur eben größer. Legst du zwei gleiche Bauteile aufeinander, decken sie sich exakt. Genau diese zwei Ideen stecken hinter Kongruenz und Ähnlichkeit, und sie sind viel nützlicher als sie klingen: Damit misst du am Ende sogar die Höhe eines Baumes, ohne hinaufzuklettern.

Was heißt kongruent?

Zwei Figuren sind kongruent, wenn sie deckungsgleich sind: gleiche Form und gleiche Größe. Du kannst die eine so verschieben, drehen oder spiegeln, dass sie die andere genau überdeckt. Einander entsprechende Seiten sind gleich lang, einander entsprechende Winkel gleich groß. Ein Dreieck bleibt zu sich selbst kongruent, egal wie du es auf dem Papier drehst oder umklappst.

Ähnlich: gleiche Form, meist andere Größe

Ähnliche Figuren haben dieselbe Form, meist in einer anderen Größe. Die Winkel bleiben gleich, alle Seiten werden mit demselben Faktor gestreckt oder gestaucht. Ein Foto und seine Vergrößerung sind ähnlich, ein Modellauto und das echte Auto ebenso. Kongruente Figuren sind übrigens ein Sonderfall davon: ähnlich mit Streckfaktor 1, also ohne jede Größenänderung.

Der Streckfaktor

Der Streckfaktor $k$ sagt, wie stark eine Figur vergrößert wird. Ist $k = 3$, wird jede Seite dreimal so lang. Du findest ihn, indem du eine neue Länge durch die zugehörige alte Länge teilst. Ist $k$ größer als 1, wird die Figur größer, ist $k$ kleiner als 1, wird sie kleiner.

Der Strahlensatz

Schneiden zwei Strahlen, die vom selben Punkt ausgehen, zwei parallele Linien, dann entstehen zwei ähnliche Dreiecke. Einander entsprechende Abschnitte stehen im gleichen Verhältnis: $\frac{a}{b} = \frac{a'}{b'}$. Genau darauf beruht das Messen mit Schatten. Die Sonnenstrahlen kommen praktisch parallel an, also bilden Stab und Schatten sowie Baum und Schatten zwei ähnliche Dreiecke. Wirft ein 1 m hoher Stab 2 m Schatten und der Baum daneben im selben Moment 12 m, dann ist der Baum 6 m hoch, denn Höhe zu Schatten bleibt 1 zu 2.