Satz des Thales

Zeichne einen Kreis, zieh einen Durchmesser von $A$ nach $B$ und setze irgendwo auf den oberen Bogen einen Punkt $C$. Verbindest du $C$ mit $A$ und mit $B$, entsteht ein Dreieck. Miss jetzt den Winkel bei $C$ nach: Es sind immer genau 90°, ganz egal, wo auf dem Bogen du $C$ hingesetzt hast. Diese Entdeckung wird Thales von Milet zugeschrieben, sie ist rund 2600 Jahre alt und immer noch der schnellste Weg zu einem sauberen rechten Winkel.

Was der Satz genau sagt

Genauer formuliert: Ist die Strecke $AB$ ein Durchmesser und liegt $C$ auf dem Kreis, aber weder auf $A$ noch auf $B$, dann ist das Dreieck $ABC$ rechtwinklig, und der rechte Winkel sitzt bei $C$. Damit ist der Durchmesser $AB$ automatisch die längste Seite, also die Hypotenuse. Die beiden kürzeren Seiten $AC$ und $BC$ heißen Katheten. In dieser Rolle heißt der Kreis Thaleskreis. Beides ist wichtig: $AB$ muss wirklich durch den Mittelpunkt gehen, und $C$ muss genau auf dem Bogen liegen. Bei einem Kreis mit dem Durchmesser 10 cm hat also jedes dieser Dreiecke eine Hypotenuse von 10 cm, nur die beiden Katheten ändern sich, je nachdem wo $C$ liegt.

Warum das immer klappt

Nenne den Mittelpunkt $M$. Weil $A$, $B$ und $C$ alle auf dem Kreis liegen, sind die Strecken $MA$, $MB$ und $MC$ gleich lang, sie sind ja alle Radien. Damit ist das Dreieck $AMC$ gleichschenklig, die Winkel bei $A$ und bei $C$ sind also gleich groß, nenne sie $\alpha$. Genauso ist $BMC$ gleichschenklig, dort heißen die beiden gleichen Winkel $\beta$. Im großen Dreieck $ABC$ steckt bei $A$ der Winkel $\alpha$, bei $B$ der Winkel $\beta$, und bei $C$ treffen beide zusammen, dort ist es also $\alpha + \beta$. Da alle drei Winkel zusammen 180° ergeben, bleibt für $\alpha + \beta$ nur die Hälfte übrig.

Rechte Winkel bauen, Mittelpunkte finden

Der Satz ist vor allem ein Werkzeug. Erstens konstruierst du damit rechte Winkel: Zeichne eine Strecke, halbiere sie, schlag um die Mitte einen Kreis durch beide Endpunkte, und jeder Punkt des Bogens liefert dir einen exakten rechten Winkel, ganz ohne Geodreieck. Zweitens gilt die Umkehrung: Hat ein Dreieck bei $C$ einen rechten Winkel, dann liegt $C$ auf dem Kreis über der Hypotenuse. Die Mitte der Hypotenuse ist deshalb von allen drei Ecken gleich weit entfernt, nämlich die halbe Hypotenuse. Bei 13 cm Hypotenuse sind das 6,5 cm. Kennst du statt der Hypotenuse nur die beiden Katheten $a$ und $b$, holst du dir die Hypotenuse $c$ vorher mit dem Satz des Pythagoras aus $a^2 + b^2 = c^2$. Drittens findest du so den Mittelpunkt einer runden Platte: Leg den rechten Winkel eines Geodreiecks mit der Spitze an den Rand, markiere die zwei Stellen, an denen die Schenkel den Rand schneiden, und verbinde sie. Diese Linie ist ein Durchmesser. Wiederhol das an einer anderen Stelle, und die beiden Durchmesser kreuzen sich genau im Mittelpunkt.