Winkel an Parallelen

Zwei Bahngleise laufen bis zum Horizont und treffen sich nie. Legst du eine Schwelle schräg darüber, entstehen an beiden Gleisen Winkel, und die sind kein Zufall: Sie wiederholen sich. Genau das passiert, wenn eine Gerade zwei parallele Geraden schneidet. Wer diese Wiederholung erkennt, liest aus einem einzigen gemessenen Winkel alle übrigen ab, ganz ohne Geodreieck. Drei Winkelpaare brauchst du dafür, und alle drei lernst du hier kennen.

Acht Winkel, aber nur zwei Größen

Parallel heißt: Zwei Geraden haben überall denselben Abstand und treffen sich nie. Kommt eine dritte Gerade dazu und schneidet beide, nennt man sie Schnittgerade. An jedem der beiden Schnittpunkte entstehen vier Winkel, zusammen also acht. Schon an einem einzelnen Schnittpunkt gelten zwei bekannte Regeln: Zwei Winkel, die sich genau gegenüberliegen, heißen Scheitelwinkel und sind gleich groß. Zwei Winkel, die nebeneinanderliegen und zusammen eine gerade Linie bilden, heißen Nebenwinkel und ergeben zusammen 180°. Bei zwei Parallelen kommt das Überraschende dazu: Unter den acht Winkeln gibt es nur zwei verschiedene Größen. Misst du am oberen Schnittpunkt 65°, dann ist jeder der acht Winkel entweder 65° oder 115°, denn 65° + 115° = 180°. Nur wenn die Schnittgerade senkrecht auf den Parallelen steht, fallen beide Größen zusammen und alle acht Winkel messen 90°.

Stufenwinkel und Wechselwinkel

Stufenwinkel liegen an beiden Schnittpunkten an genau derselben Stelle: entweder beide oben rechts oder beide unten links. Man erkennt sie an der Form eines großen F, deshalb heißen sie auch F-Winkel. Weil die Schnittgerade auf beide Parallelen mit derselben Neigung trifft, sind Stufenwinkel immer gleich groß. Ist der Winkel oben rechts am ersten Schnittpunkt 65°, dann misst der Winkel oben rechts am zweiten Schnittpunkt ebenfalls 65°.

Wechselwinkel liegen über Kreuz: einer links von der Schnittgeraden, der andere rechts davon, und beide zwischen den Parallelen. Ihre Merkform ist ein großes Z, daher der Name Z-Winkel. Auch Wechselwinkel sind immer gleich groß, und das lässt sich in zwei Schritten begründen. Nimm zuerst den Stufenwinkel, der ist gleich groß, und davon den Scheitelwinkel, der ist auch gleich groß. Zweimal gleich groß bleibt gleich groß, also stimmen die Wechselwinkel überein.

Entgegengesetzte Winkel ergeben 180°

Das dritte Paar liegt ebenfalls zwischen den Parallelen, aber beide Winkel sitzen auf derselben Seite der Schnittgeraden. Diese entgegengesetzten Winkel erkennst du an der Form eines großen U. Sie sind nicht gleich groß, sondern ergänzen sich zu 180°. Der Grund: Der eine von ihnen ist der Nebenwinkel eines Wechselwinkels des anderen. Der Wechselwinkel ist gleich groß, und Nebenwinkel ergeben zusammen immer 180°. Ist der eine also 65°, bleibt für den anderen 180° − 65° = 115°.

Fehlende Winkel bestimmen

Alles zusammen an einem Beispiel: Eine Schnittgerade trifft zwei Parallelen, am oberen Schnittpunkt ist ein Winkel mit 118° gegeben. Sein Nebenwinkel misst 180° − 118° = 62°. Der zugehörige Stufenwinkel am unteren Schnittpunkt hat wieder 118°, der Wechselwinkel dazu ebenfalls, und der Winkel, der mit den 118° ein U bildet, misst 62°. Damit ist die ganze Figur ausgefüllt. Sind zwei Winkel nicht als Zahl, sondern als Term mit $x$ angegeben, gehst du genauso vor: Gleich große Winkel setzt du gleich, etwa $2x = x + 30$, und bei der U-Form setzt du die Summe auf 180°, etwa $2x + x = 180$. Aus der Gleichung folgt $x$, und damit kennst du beide Winkel.