Zylinder, Kegel & Kugel

Beim Quader ist Volumen einfach: Länge mal Breite mal Höhe. Sobald etwas rund ist, wird oft aus Formeln geraten. Muss man aber nicht, denn Zylinder, Kegel und Kugel gehören zusammen. Alle drei Formeln enthalten die Kreisfläche $\pi r^2$, und die Unterschiede lassen sich in einem Satz merken.

Der Zylinder: Kreis mal Höhe

Ein Zylinder ist eine Dose: unten ein Kreis, oben derselbe Kreis, dazwischen gerade Wände. Genau wie beim Quader gilt Grundfläche mal Höhe, nur ist die Grundfläche jetzt ein Kreis. Also $V = \pi r^2 \cdot h$. Eine Dose mit $r = 4$ cm und $h = 10$ cm hat das Volumen $\pi \cdot 16 \cdot 10 \approx 503$ cm³, also etwa einen halben Liter.

Für die Oberfläche einer Dose brauchst du drei Teile: zwei Kreise und die Wand. Rollst du die Wand auf, ist sie ein Rechteck. Seine Höhe ist $h$, und seine Breite ist der Kreisumfang $2 \pi r$, denn genau so weit reicht sie einmal herum. Also $O = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h$.

Der Kegel: ein Drittel davon

Ein Kegel hat dieselbe Grundfläche wie ein Zylinder, läuft aber nach oben spitz zu. Er passt genau dreimal in den Zylinder gleicher Höhe. Deshalb steht in der Formel ein Drittel: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$. Das kann man wirklich ausprobieren, indem man einen kegelförmigen Becher dreimal mit Wasser füllt und in einen zylindrischen mit gleicher Höhe und gleichem Radius gießt.

Beim Kegel gibt es zwei verschiedene Längen, und ihre Verwechslung ist der klassische Fehler. Die Höhe $h$ geht senkrecht von der Mitte des Kreises zur Spitze. Die Mantellinie $s$ geht von der Kante des Kreises zur Spitze und ist immer länger. Beide hängen über Pythagoras zusammen: $s^2 = r^2 + h^2$. Für das Volumen brauchst du $h$, für die Oberfläche brauchst du $s$.

Die Kugel: nur der Radius zählt

Eine Kugel hat keine Höhe und keine Grundfläche, sie hat nur einen Radius. Entsprechend kommen in beiden Formeln nur $r$ und $\pi$ vor: $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ und $O = 4 \pi r^2$. Die Oberflächenformel ist leichter zu merken, als sie aussieht: Sie ist genau viermal die Kreisfläche. Ein Fußball mit $r = 11$ cm hat also eine Oberfläche von $4 \pi \cdot 121 \approx 1521$ cm².