Körpernetze & Oberfläche

Eine Pappschachtel lässt sich flach zusammenlegen, und genau darin steckt der ganze Trick. Schneide eine leere Müslipackung an ein paar Kanten auf und klappe sie auseinander: Übrig bleibt eine flache Figur aus lauter Rechtecken. An dieser flachen Figur kannst du ablesen, wie viel Karton in der Packung steckt, ohne dich mit dem Raum herumzuschlagen. Genau darum geht es hier: vom Körper zum Netz und vom Netz zur Oberfläche.

Vom Körper zum Netz

Ein Netz ist der aufgeklappte Körper: alle Flächen nebeneinander in der Ebene, so zusammenhängend, dass du sie wieder zum Körper falten kannst. Beim Würfel sind das 6 gleich große Quadrate, denn ein Würfel hat oben und unten, vorne und hinten, links und rechts je eine Fläche. Beim Quader sind es ebenfalls 6 Flächen, nur sind es jetzt Rechtecke, und sie bilden drei Paare: Gegenüberliegende Flächen sind immer gleich groß. Das Zählen ist deine erste Kontrolle. Kommst du im Netz nicht auf 6 Teile, fehlt eine Fläche oder du hast eine doppelt gezeichnet.

Oberfläche heißt: alle Flächen addieren

Die Oberfläche $O$ ist nichts anderes als die Summe aller Flächen im Netz. Beim Würfel mit der Kantenlänge $a$ sind alle 6 Flächen Quadrate mit dem Inhalt $a^2$, also gilt $O = 6 \cdot a^2$. Für $a = 4$ cm rechnest du $6 \cdot 16 = 96$, die Oberfläche ist also 96 cm². Beim Quader mit den Kanten $a$, $b$ und $c$ gibt es drei verschiedene Rechtecke, und jedes kommt zweimal vor: $a \cdot b$, $a \cdot c$ und $b \cdot c$. Ein Karton mit 5 cm, 3 cm und 2 cm hat deshalb die Oberfläche $2 \cdot (15 + 10 + 6) = 62$, also 62 cm². Das funktioniert auch rückwärts: Kennst du beim Würfel die Oberfläche, teilst du sie durch 6 und suchst die Seitenlänge des Quadrats, das genau diesen Flächeninhalt hat.

Der Zylinder rollt sich auf

Eine Konservendose besteht aus Deckel, Boden und der Wand dazwischen. Schneidest du die Wand einmal senkrecht auf und rollst sie ab, wird daraus ein Rechteck. Seine Höhe ist die Höhe $h$ der Dose, und seine Breite ist genau der Kreisumfang $2 \pi r$, denn so weit reicht die Wand einmal rundherum. Dazu kommen Deckel und Boden, zwei Kreise mit je $\pi r^2$. Für $r = 3$ cm und $h = 10$ cm ist das Rechteck $2 \cdot 3{,}14 \cdot 3 = 18{,}84$ cm breit und 10 cm hoch, also 188,4 cm² groß. Die beiden Kreise bringen zusammen $2 \cdot 3{,}14 \cdot 9 = 56{,}52$ cm², macht insgesamt 244,92 cm² (gerechnet mit $\pi \approx 3{,}14$).

Oberfläche oder Volumen?

Oberfläche und Volumen beantworten zwei ganz verschiedene Fragen. Die Oberfläche sagt, wie viel Material die Hülle braucht: Geschenkpapier, Farbe, Blech. Sie besteht aus Flächen und wird deshalb in cm² oder m² angegeben. Das Volumen sagt, wie viel in den Körper hineinpasst: Wasser, Müsli, Luft. Es zählt kleine Würfel und wird in cm³ oder Litern angegeben. Ein Würfel mit 4 cm Kantenlänge hat die Oberfläche 96 cm² und das Volumen 64 cm³. Derselbe Körper, zwei völlig verschiedene Zahlen mit verschiedenen Einheiten.