Mathematik

Vektoren entdecken

Drei Schritte nach rechts, zwei nach oben: Vektoren beschreiben Bewegungen mit Richtung und Länge.

Das brauchst du vorher

Das Koordinatensystem Satz des Pythagoras

Stell dir eine Schatzkarte vor: Gehe 3 Schritte nach Osten und 2 Schritte nach Norden. Diese Anweisung ist mehr als ein Punkt auf der Karte, sie ist eine Bewegung. Genau solche Verschiebungen beschreibt ein Vektor. Er sagt dir nicht, wo du bist, sondern wohin und wie weit du gehst. Damit kannst du Flugrouten, Windrichtungen oder die Bewegung einer Spielfigur beschreiben.

Ein Pfeil mit Richtung und Länge

Gezeichnet wird ein Vektor als Pfeil. Aufgeschrieben wird er über seine Komponenten: wie viele Schritte in x-Richtung, wie viele in y-Richtung. Der Vektor (3|2) bedeutet 3 nach rechts und 2 nach oben. Negative Zahlen drehen die Richtung um: (−3|0) heißt 3 Schritte nach links. Achte auf den Unterschied zu den Koordinaten: Der Punkt P(3|2) ist eine feste Adresse im Koordinatensystem, der Vektor (3|2) dagegen eine Bewegung. Deshalb ist beim Vektor der Startpunkt egal. Ob du die Verschiebung (3|2) am Ursprung beginnst oder mitten auf der Karte, es ist derselbe Vektor, denn Richtung und Länge sind gleich.

Koordinatensystem

P (3 | 2)

Probier es aus: Stell mit den beiden Reglern einen Punkt ein und lies ab, wie viele Schritte in x-Richtung und y-Richtung vom Ursprung aus nötig sind. Genau das sind die Komponenten des Vektors vom Ursprung zu deinem Punkt.

Vektoren addieren

Was passiert, wenn du zwei Bewegungen nacheinander ausführst? Erst (2|1), dann (3|2). Zeichnerisch setzt du den zweiten Pfeil mit seinem Anfang an die Spitze des ersten. Der Vektor vom Start des ersten Pfeils zur Spitze des zweiten ist die Summe. Rechnerisch ist es noch einfacher: Du addierst die Komponenten getrennt. Aus (2|1) und (3|2) wird (5|3), denn $2 + 3 = 5$ und $1 + 2 = 3$ . Beide Wege führen zum selben Ergebnis.

Wie lang ist ein Vektor?

\left| \vec{v} \right| = \sqrt{x^2 + y^2}

Die Striche links und rechts stehen für die Länge des Vektors, die man auch seinen Betrag nennt. Der Pfeil ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten die Komponenten x und y sind. Deshalb hilft hier der Satz des Pythagoras: Der Vektor (3|4) hat die Länge

\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5

Aufgaben

0 von 6 gelöst

Zeit zum Ausprobieren. Du kannst nichts kaputt machen, jeder Versuch zählt.

Was beschreibt ein Vektor?

Ein Vektor führt 4 Schritte nach rechts und 3 Schritte nach oben. Wie groß ist seine x-Komponente?

In welche Richtung zeigt der Vektor (0|5)?

Bei der zeichnerischen Addition setzt man den Anfang des zweiten Pfeils an die … des ersten Pfeils.

Du addierst die Vektoren (2|1) und (3|2). Wie groß ist die x-Komponente des Ergebnisses?

Ordne jedem Vektor seine Richtung zu.

(2|0)

(−4|0)

(0|6)

(0|−3)

Damit geht es weiter

Skalarprodukt

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