Strahlensätze

Wie hoch ist eigentlich der Baum vor deinem Fenster? Nachmessen kannst du ihn nicht, hinaufklettern willst du nicht. Trotzdem genügen ein Zollstock, ein gerader Stab und etwas Sonne, um die Höhe erstaunlich genau zu bestimmen. Dahinter stecken die Strahlensätze: zwei Regeln über Verhältnisse, die immer dann greifen, wenn parallele Linien zwei Strahlen schneiden.

Stell dir einen Punkt $S$ vor, von dem zwei Strahlen ausgehen wie die beiden Arme einer geöffneten Schere. Quer darüber legst du zwei Geraden, die zueinander parallel sind. Die nähere trifft den einen Strahl in $A$ und den anderen in $B$, die fernere trifft dieselben Strahlen in $C$ und $D$. Auf dem ersten Strahl liegen also $S$, $A$ und $C$ in dieser Reihenfolge, auf dem zweiten $S$, $B$ und $D$. So entstehen zwei Dreiecke mit derselben Spitze $S$, ein kleines und ein großes. Weil die Schnittlinien parallel sind, ist das große Dreieck nichts anderes als eine vergrößerte Kopie des kleinen, und genau deshalb hängen alle Längen über feste Verhältnisse zusammen.

Der erste Strahlensatz

Der erste Strahlensatz vergleicht die Abschnitte auf den beiden Strahlen. Entscheidend ist dabei eines: Alle Längen werden vom Scheitelpunkt $S$ aus gemessen, nicht von einer Parallelen zur nächsten. Ist $SA = 4$ cm und $SC = 6$ cm, dann liegt $C$ das 1,5-Fache so weit von $S$ entfernt wie $A$. Auf dem zweiten Strahl gilt genau derselbe Faktor: Aus $SB = 6$ cm wird $SD = 9$ cm. Kennst du drei der vier Längen, findest du die vierte immer.

Der zweite Strahlensatz

Der zweite Strahlensatz nimmt die Parallelen selbst dazu. Die Strecke $AB$ auf der nahen Parallelen und die Strecke $CD$ auf der fernen stehen im gleichen Verhältnis wie die Abschnitte auf einem der beiden Strahlen. Mit $SA = 4$ cm, $SC = 6$ cm und $AB = 5$ cm folgt: $CD$ ist das 1,5-Fache von 5 cm, also 7,5 cm. Merk dir den Unterschied so: Der erste Satz bleibt auf den Strahlen, der zweite verbindet einen Strahl mit den Querstücken.

Den Baum messen, ohne zu klettern

Sonnenstrahlen treffen bei uns praktisch parallel ein. Stellst du einen Stab senkrecht neben den Baum, dann bilden Stab und Stabschatten sowie Baum und Baumschatten dieselbe Figur in zwei Größen, und die Sonne übernimmt die Rolle der Strahlen. Ein Stab von 1,5 m wirft 1,2 m Schatten, das Verhältnis von Höhe zu Schatten ist also 1,5 zu 1,2 oder das 1,25-Fache. Wirft der Baum im selben Moment 8 m Schatten, ist er 8 m mal 1,25, also 10 m hoch. Wichtig ist nur, beide Schatten gleichzeitig zu messen, denn die Sonne wandert und mit ihr jeder Schatten.

Dieselbe Figur funktioniert auch andersherum, wenn du eine Entfernung suchst. Hältst du einen Stift so vor dein Auge, dass er einen Turm genau verdeckt, dann ist dein Auge der Scheitelpunkt $S$, die beiden Blicklinien über die Enden des Stifts sind die Strahlen, und Stift und Turm sind die beiden Parallelen. Der Stift verrät dir das Verhältnis von Abstand zu Länge, und der Turm folgt demselben Verhältnis.