Kreisbogen & Kreissektor

Ein ganzer Kreis hat einen Umfang und eine Fläche, und dafür gibt es zwei Formeln, die du schon kennst. Fast nie brauchst du aber den ganzen Kreis: Ein Tortenstück, ein Stück Pizza, der Bereich, den ein Scheibenwischer putzt, ein Kreisverkehr, aus dem du nach einem Viertel wieder herausfährst. Alle diese Formen sind Teile eines Kreises, und dafür brauchst du keine neue Formel, sondern nur einen Anteil.

Der Winkel sagt den Anteil

Ein voller Kreis hat 360°. Wenn dein Stück einen Mittelpunktswinkel von 90° hat, ist es ein Viertel des Kreises, denn $90 : 360 = 0,25$. Bei 60° ist es ein Sechstel, bei 120° ein Drittel. Dieser Bruch $\frac{\alpha}{360°}$ ist der Anteil, und mit ihm multiplizierst du einfach das, was du vom ganzen Kreis kennst.

Bogen, Sektor und Umfang des Stücks

Hier passiert der häufigste Fehler, deshalb lohnt sich eine klare Trennung. Der Kreisbogen ist nur die runde Kante des Stücks. Der Sektor ist die Fläche des Stücks. Wenn du aber den Umfang eines Tortenstücks willst, also den Weg einmal rundherum, kommen zum Bogen noch die beiden geraden Kanten dazu, und die sind jeweils $r$ lang. Der Umfang des Sektors ist deshalb $b + 2r$.

Ein Beispiel mit Zahlen: $r = 6$ cm und $\alpha = 60°$. Der Anteil ist $\frac{60}{360} = \frac{1}{6}$. Der ganze Umfang ist $2 \pi \cdot 6 \approx 37,7$ cm, der Bogen also etwa 6,3 cm. Die ganze Fläche ist $\pi \cdot 36 \approx 113,1$ cm², der Sektor also etwa 18,8 cm². Und der Umfang des Stücks ist $6,3 + 12 = 18,3$ cm.